По учебнику Богдановича М. В. изучение нумерации многозначных чисел начинается с четырехзначных чисел. Повторяются счетные единицы, с которыми ученики познакомились в 1 – 3 классах: десяток и сотня. Дети получают понятие о тысяче как десять сотен. Узнают, как образуется число две тысячи. Дальше считают в пределах двух тысяч, прибавляя к тысяче сотни, десятки, единицы. Последовательно переходят к пятизначным и шестизначным числам. Вместе с упражнениями на чтение и запись многозначных чисел выполняются задания: разложить числа на разрядные слагаемые и записать сумму разрядных слагаемых как одно число.

Некоторые учителя сразу знакомят учеников с таблицей классов и разрядов. Объясняют, что в многозначном числе разряды группируются в классы. В каждом классе три разряда. В пределах шестизначных чисел имеем два класса: первый и второй. Единицы, десятки, сотни становят класс единиц (первый класс). Единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч становят класс тысяч (второй класс). Единицы, десятки и сотни – названия первого, второго и третьего разрядов первого класса. Единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч – названия первого, второго и третьего разрядов второго класса. Названия счетных (разрядных) единиц первых двух классов такие: для класса единиц – единица, десяток, сотня; для класса тысяч – единица тысяч, десяток тысяч, сотня тысяч. Если единицы каких-либо разрядов отсутствуют, то в устной нумерации их не называют, а в письменной – обозначают нулем. Выделяют также единицы классов. Единицей класса тысяч есть тысяча. Чтобы прочитать четырехзначное, пятизначное или шестизначное число, сначала нужно назвать, сколько в нем единиц класса тысяч, а потом , сколько единиц класса единиц (слово единиц не произносят).

Сравнение дробей базируется на понимании их образования. Если 1/2 получаем делением целого на две равные части, а 1/8 делением этого целого на восемь равных частей, то, представляя этот процесс, ученики приходят к выводу, что одна восьмая часть меньше, чем одна вторая.

Но сравнение дробей должно начинаться с наглядного деления полосок, квадратов, кругов, отрезков на равные части и сопровождаться этими действиями, пока дети не привыкнут представлять их.

После того, как дети научаться сравнивать дроби с числительными, равными единицам, переходим к сравнению дробей с разными числительными, но равными знаменателями. Подчеркиваем, что части в обоих случаях равные, а больше та дробь, где взяли больше таких частей.

Более сложный случай, когда сравниваем две дроби с разными знаменателями, но одинаковыми числителями. Но и в этом случае, представляя образование таких дробей, дети справляются с заданием, определяя, в какой дроби полученные при делении части меньшие, и сравнивая одинаковое количество меньших и больших частей.

Хотя с понятиями «периметр» и «площадь» учащиеся уже сталкивались в 1 - 3 классах, но, приступая к изучению этой темы в четвертом классе, повторяем и закрепляем указанные понятия. И, прежде всего - это различение самих понятий, а также единиц, которыми измеряется площадь и периметр.

Как известно, все познается в сравнении, сопоставлении. На первой странице упражнения сопоставляется периметр (слева) и площадь (справа). Периметр обозначен линейными единицами, площадь - квадратными. Вторая страница предлагает ученикам посчитать количество сантиметров, содержащееся в периметре каждой фигуры и количество квадратных сантиметров, содержащееся в площади. И, наконец, аргументировано выводится формула вычисления площади прямоугольников: число квадратных сантиметров в одном ряду умножается на количество таких рядов.

Задачи с частями – это тренировочное упражнение для решения простых задач, в которых нужно найти часть числа или число за его частью. Исходя из принципа – от простого к сложному, мы добиваемся успеха в решении сложных задач только после того, как дети поймут и научатся решать простые задачи. Ученики должны научиться различать указанные выше два вида задач. Схема к задаче, которую нужно дополнить, обозначив на ней целое и часть, заставляет вдумчиво читать задачу, представить ситуацию, описанную в задаче. Целый отрезок в каждой схеме разделен на определенное количество равных частей. Это закрепляет понятие о том, что дробь получаем делением целого на две, три, четыре части и т.д.

Таким образом, у детей вырабатывается правильный подход к решению всех типов задач: представить условие задачи в виде схемы, определить известные и искомые величины, установить, как они связаны между собой, выбрать решение.

Полученные в начальной школе умения находить заданную часть числа и число по известной его части помогут ученикам средней школы в решении задач с процентами, так как процент – это сотая часть числа. Усвоив материал по нахождению части числа и числа за его частью, ученики не чувствуют трудности в решении задач с процентами.

Счетчик решенных задач показывает, на каком уровне находится ученик. По счетчику ошибок видно, осознанно работает ребенок или выполняет указанные в упражнении действия наугад. Это поможет учителю в компьютерном классе видеть уровень усвоения материала каждым учеником.

Третье упражнение – это таблица, в которой за двумя известными величинами нужно найти третью. Ученики должны выбрать действие, с помощью которого находится неизвестная величина и устно его выполнить. Вычислив результат, найти его на полях упражнения и перетянуть в пустую клеточку таблицы.

В первом сборнике простых задач на движение они подавались по разделам: 6 задач на вычисление скорости, 6 задач на вычисление расстояния, 6 задач на вычисления времени.

Во втором сборнике группировка отсутствует. Ученик уже не может найти решение следующей задачи по аналогии с предыдущей. К каждой задаче действие выбирается отдельно. Числа подобраны так, что с ними можно выполнять как действие умножения, так и действие сложения. Выбор решения зависит от понимания сущности величин: скорость, время, расстояние и зависимостей между ними.

Таким образом закрепляются понятия о скорости, времени, расстоянии и об единицах, которыми они измеряются

Задачи на движение занимают значительный объем материала по математике для 3-4 классов общеобразовательных школ.

Упражнение не научит сразу решать сложные задачи, но оно необходимо при подготовке к решению задач на движение, так как помогает осмыслить основные понятия: расстояние, скорость, время и взаимоотношения между ними.

Первое, что должны усвоить ученики, - что называют скоростью.

Первые шесть задач подводят детей к выводу: скоростью называют расстояние, пройденное за единицу времени. Узнав, сколько километров проходит пешеход за 1 ч, мы находим скорость пешехода 4 км за ч. Найдя ответ на вопрос задачи, сколько метров проплывает пловец за 1 мин, получаем скорость пловца – 4 м за мин. Дети наблюдают, какими единицами измеряется каждая величина, как записывают сокращенно единицы измерения скоростей: 4 км/ч, 40 м/мин, 8 км/с и так далее.

Осмыслив сущность величин и запомнив, какими буквами они обозначаются, ученики смогут самостоятельно вывести формулы: s = v*t, v = s:t, t = s:v.

Решая задачи, школьники расширяют свой кругозор, получают представление о скоростях, с какими двигаются разные виды транспорта, а также животные, люди.

Упражнения на преобразование именованных чисел созданы по принципу «от простого к сложному».

Если в первом упражнении только большие меры преобразовывали в меньшие (главная цель – запомнить соотношения), то в упражнении «Именованные числа 2» трудности нарастают. Добавляются задания на преобразование меньших единиц в большие и используются раннее приобретенные учениками умения определять, сколько всего в числе десятков, сотен, тысяч, и как это связано с преобразованием величин. Если указанной теме было уделено мало внимания, то предоставляется возможность наверстать упущенное в нулевом варианте второго упражнения.

Задания усложняются тем, что нужно определить, какое действие выполнять: умножение на 10, 100, 1000 или деление на эти числа. В пятом варианте дается наглядная схематическая подсказка: в одном и том же объеме меньших единиц (вишен) большее количество, а больших (груш) меньшее количество.

В примере 2700 см =27 м сантиметры ассоциируются с вишнями, их в квадрате больше, а метры – с грушами, их в том же квадрате меньшее количество. Меньшее число в данном случае получаем делением: 2700 разделяем на 100 (1 м = 100 см) получаем 27 м.

В примере: 800 т = … ц тонны – «груши», центнеры – «вишни», центнеров будет больше, значит, 800 умножить на 10 (в одній тонне 10 ц), будет 8000 ц.

В седьмом варианте на помощь приходит текстовая подсказка-помощь, как только ученик допустит ошибку.

В процессе выполнения заданий опять повторяются, закрепляются, запоминаются соотношения между единицами измерения. Закрепляются навыки умножения и деления чисел на 10, 100, 1000.

В преобразовании именованных чисел ученики ошибаются больше всего. Одни просто переписывают цифры, не задумываясь о соотношениях больших и меньших единиц измерения. Кто-то не знает этих соотношений. Другие не могут построить цепочку умозаключений, в результате которых получили бы правильный ответ.

Теряются дети и в случаях, когда в одном и том же упражнении одни величины нужно умножать на 10, 100, 1000, а другие уменьшать в 10, 100, 1000 раз.

Компьютерные упражнения, как правило, дети выполняют с большей ответственностью, чем устные задания или работы в тетрадях. Зафиксированная компьютером ошибка побуждает ученика думать, припоминать соотношения, правильно выбирать действия в преобразовании именованных чисел.

Последовательное выполнение вариантов тренировочных заданий (от простых к более сложным) поможет ученикам припомнить и запомнить соотношения между единицами измерений, потренирует в использовании этих соотношений в вычислениях, поможет, таким образом, избавиться от ошибок. Кроме того, ученики повторяют нумерацию многозначных чисел, учатся аргументировать свой выбор.